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函数与极限是高等数学的基础，也是进入微积分学习的第一步。本章将系统介绍函数的概念、性质、分类以及极限理论的基本内容。函数是描述变量之间依赖关系的数学工具，而极限则是研究函数在某一点附近行为的重要概念。通过学习函数与极限，我们能够理解连续性的本质，为后续的微分学、积分学打下坚实基础。本章内容不仅在数学理论中占有重要地位，而且在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
12-16 小时
高中数学
中等
函数是描述两个变量之间对应关系的数学概念。给定一个非空数集 \(D\)，若对于 \(D\) 中的任意一个数 \(x\)，按照某个确定的对应关系，总有唯一确定的数值 \(y\) 与之对应，则称这种对应关系为定义在 \(D\) 上的函数，记作 \(y = f(x)\)，其中 \(x\) 是自变量，\(y\) 是因变量，\(D\) 称为函数的定义域。
函数可以通过多种方式表示：
考虑函数 \(f(x) = x^2\)，定义域为实数集 \(\mathbb{R}\)
1. 解析表示：\(f(x) = x^2\)
2. 列表表示（部分值）：
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) |
3. 图像表示：抛物线 \(y = x^2\)
函数的基本性质包括以下几个方面：
若对于定义域内的任意两点 \(x_1 < x_2\)，都有：
- 单调递增：\(f(x_1) \leq f(x_2)\)
- 严格单调递增：\(f(x_1) < f(x_2)\)
- 单调递减：\(f(x_1) \geq f(x_2)\)
- 严格单调递减：\(f(x_1) > f(x_2)\)
若函数的定义域关于原点对称，则：
- 奇函数：\(f(-x) = -f(x)\)
- 偶函数：\(f(-x) = f(x)\)
奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于 y 轴对称
若存在 \(T > 0\)，使得对定义域内任意 \(x\)，都有：
\(f(x + T) = f(x)\)
则称 \(f(x)\) 为周期函数，\(T\) 为周期（最小正周期）
若存在常数 \(M > 0\)，使得对定义域内任意 \(x\)，都有：
\(|f(x)| \leq M\)
则称函数 \(f(x)\) 在其定义域上有界
上图展示了几个典型函数的性质对比。可以看到不同函数具有不同的单调性、奇偶性和周期性特征。
复合函数：设 \(y = f(u)\) 和 \(u = g(x)\) 是两个函数，将 \(g(x)\) 代入 \(f(u)\)，得到的函数 \(y = f[g(x)]\) 称为复合函数，记作 \(f \circ g\)。
反函数：设函数 \(y = f(x)\) 在区间 \(D\) 上严格单调，则对于值域中的每个值 \(y\)，有唯一的 \(x \in D\) 与之对应。这样，\(x\) 就是 \(y\) 的函数，记作 \(x = f^{-1}(y)\)，称为 \(f(x)\) 的反函数。
上图展示了函数 \(f(x) = x^3\) 及其反函数 \(f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}\) 的图像。可以看到，这两个函数的图像关于直线 \(y = x\) 对称。
初等函数是由基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）经过有限次四则运算和有限次复合而成的函数。下面介绍几类常见的初等函数：
形式：\(y = x^a\)，其中 \(a\) 为常数
特例：\(y = x\)（一次函数）、\(y = x^2\)（二次函数）
性质：根据指数 \(a\) 的不同，性质各异
形式：\(y = a^x\)，其中 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)
特例：\(y = e^x\)（自然指数函数）
性质：定义域为 \(\mathbb{R}\)，值域为 \((0, +\infty)\)；当 \(a > 1\) 时单调递增，当 \(0 < a < 1\) 时单调递减
形式：\(y = \log_a x\)，其中 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)
特例：\(y = \ln x\)（自然对数函数）
性质：定义域为 \((0, +\infty)\)，值域为 \(\mathbb{R}\)；当 \(a > 1\) 时单调递增，当 \(0 < a < 1\) 时单调递减
主要函数：\(\sin x\)、\(\cos x\)、\(\tan x\)、\(\cot x\)、\(\sec x\)、\(\csc x\)
性质：周期性、奇偶性、有界性等
应用：描述周期性变化、波动现象
上图展示了几种常见初等函数的图像。这些函数在数学、物理、工程等领域有广泛应用。
函数在现实世界中有着广泛的应用。例如，在物理学中，位移、速度和加速度之间的关系可以用函数表示；在经济学中，成本、收入和利润之间的关系也可以用函数描述。
一个物体从高处自由落下，其下落距离 \(s\)（米）与时间 \(t\)（秒）的关系可以表示为：
\(s(t) = \frac{1}{2}gt^2\)
其中 \(g \approx 9.8 \text{ m/s}^2\) 是重力加速度。
这是一个二次函数，描述了物体下落距离随时间的变化规律。
一笔本金为 \(P\) 的存款，年利率为 \(r\)，\(t\) 年后的本息和 \(A\) 可以表示为：
\(A(t) = P(1 + r)^t\)
这是一个指数函数，描述了复利增长的规律。
描述两个变量之间对应关系的数学概念
函数自变量取值范围与因变量取值范围
由基本初等函数经过有限次运算复合而成
确定函数定义域时需考虑分母不为零、偶次根号内非负等条件
函数必须是单射（严格单调）才存在反函数
确定复合函数定义域时需考虑内层函数值域与外层函数定义域的交集
利用函数奇偶性、单调性简化计算和判断
绘制函数图像有助于直观理解函数性质
掌握平移、伸缩、对称等基本变换规律
1. 函数 \(f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}\) 的定义域是？
答案正确
分母不能为零，所以 \(x \neq 1\)。但注意，当 \(x = 1\) 时，分子也为零，需要进一步分析。通过因式分解：\(f(x) = \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1\)，当 \(x \neq 1\) 时。所以函数的定义域是 \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\)。
2. 下列函数中，哪一个是奇函数？
答案正确
这是一个奇函数。我们可以通过验证 f(-x) = -f(x) 来证明：
f(-x) = (-x)³ + (-x) = -x³ - x = -(x³ + x) = -f(x)
3. 函数 \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\) 的值域是？